- μijは表34 の「２元配置の記号」に示すようなｎ行ｍ列からなる２つの要因（Ａ・Ｂ）での母平均を表す。
- ２元配置法におけるデータの構造は Ｘij＝μbar＋（μi.－μbar）＋（μ.j－μbar）＋ε であり， μは全体の母平均，μi.は水準Ａの母平均，μ.jは水準Ｂの母平均，ε は誤差を表す．
- ここでの２元配置分散分析は，因子(Ａ・Ｂ)でのデータが１つの場合に付いて説明した．これを「くり返しのないとき」と云う．データが２つ以上あるときには，「くり返しのあるとき」と云い計算の一部が異なる．
- ２元配置の場合には，２つの要因の因子が病態など特定の因子を意識に取り上げているとき，これを母数模型と云う．これに対して，因子を無作意に取り上げている場合を変量模型と云う． この様に因子構造の違いによって厳密には検定の方法が異なる．しかし，医学における要因のほとんどは，先の気管支喘息の例題のように母数模型である． また，要因が２つから３つになれば３元配置が，４つになれば多元配が適用される．医学における多元配置は必ずしも適当と云えないので，ここでは取り上げない．
- 任意の対比較では棄却限界値の右辺の計算式が異なるので注意されたい.ここでの対比較は一対比較及び任意に決めた組合せ以外の対比較にのみ採用されたい.
5.3.4. 対応のあるとき（２元配置分散分析）． 複数の条件のもとで複数の関連する標本を対比させたとき，標本がその条件に対して独立，すなわち無関係であるかどうかを検定する手法です．例えば,
２つの要因と要因間の検定は，等分散性と正規性の仮定のもとに２元配置の分散分析の手法を用いて行うことができます．
［一般形式］
[検定の手順]
1. 検定の問題を明かにする．
2. 仮説の設定を行う ．注釈表示
5.3.1. 対応のないとき（１元配置分散分析）」での「例題25」では，気管支喘息の病態を「アトピー型」「混合型」「感染型」の３つに分け，それぞれの血清IgE 値について検定しました．このとき,
要因として「病態」と「年齢」の２因子の関係を考えたとき，年齢と云う因子に対して病態が全く無関係（独立）であれば，病態ごとのＩgＥ値の変動は年齢に影響されないでしょう．
だから IgE 値の変動は病態の差のみを表すことになります． 要因としての「年齢」は我々の色々な知識や経験にもとづき，しばしば,いくつかの年代によって層別（ブロック化）されることの多い因子の１つです．
この様な因子を我々はブロック因子と呼んでいます． ＩgＥ値に影響を及ぼしそうな要因は「年齢」以外にも色々と思い付くはずです．
「２つの要因と要因間に差があるか？」
........帰無仮設（H0）：μi1＝μi2＝・・・＝μij・・・＝μim
......................: μ1j＝μ2j＝・・・＝μij・・・＝μnj
........対立仮設（H1）：μi1≠μi2≠・・・≠μij・・・＝μim
......................: μ1j≠μ2j≠・・・≠μij・・・＝μnj
3. 危険率（100α%）を設定する．
........片側検定の有意水準：α （両側仮設と同等）
4. 検定統計量（FA，FB）を計算する．
........２つの要因からなる２因子のデータを，
..............n＝因子（A: n 行）の水準数
..............m＝因子（B：m 列）の水準数
..............N＝全データの個数（n × m）
..............Xij＝データ（測定値）
..............TA＝因子（A：行水準）のデータの合計
..............TB＝因子（B：列水準）のデータの合計
.........................(i＝1,2,･･･,n：j＝1,2,･･･,m)
とするとき，２元配置のデータ形式は 表34 の記号で表わされます．
２元配置のデータ形式 注釈表示
| 因子(A・B） | Ｂ1 | Ｂ2 | ・・ | Ｂj | ・・ | Ｂm | 計 |
| Ａ1 | Ｘ11 | Ｘ12 | ・・ | Ｘ1j | ・・ | Ｘ1m | Ｔ1 |
| Ａ2 | Ｘ21 | Ｘ22 | ・・ | Ｘ2j | ・・ | Ｘ2m | Ｔ2 |
| ： | ： | ： | ・・ | ： | ・・ | ： | ： |
| Ａi | Ｘi1 | Ｘi2 | ・・ | Ｘij | ・・ | Ｘim | Ｔi |
| ： | ： | ： | ・・ | ： | ・・ | ： | ： |
| Ａn | Ｘn1 | Ｘn2 | ・・ | Ｘnj | ・・ | Ｘnm | Ｔn |
| 計 | Ｔ1 | Ｔ2 | ・・ | Ｔj | ・・ | Ｔm | Ｔ（総計） |
表34 から次の平方和を計算します．
全平方和（全変動）
ＳT＝∑∑Ｘij2－Ｔ2／Ｎ
級間平方和（級間変動）
Ａ因子：ＳA＝∑ＴAi2／ｍ－Ｔ2／Ｎ
Ｂ因子：ＳB＝∑ＴBj2―Ｔ2／Ｎ
誤差平方和（級内変動）
ＳE＝ＳT－ＳA－ＳB
以上の計算は表35 の２元配置分散分析表にまとめ，検定統計量（ＦA，ＦB）を求めます．
| 要因 | 平方和(Ｓ) | 自由度(DF) | 分散(Ｖ) | Ｆ比 |
| 因子(Ａ) | ＳA | DFA=ｎ－1 | ＶA=ＳA/DFA | ＦA=ＶA／ＶE |
| 因子(Ｂ) | ＳB | DFB=ｎ－1 | ＶB=ＳB/DFB | ＦB=ＶB／ＶE |
| 誤差(Ｅ) | ＳE | DFE=(n-1)(m-1) | ＶE=ＳE/DFE | .. |
| 全体(Ｔ) | ＳT | DFT=N－1 | .. | .. |
5. 統計的判定を行う．
.........ＦA＜Ｆ(DFA,DFE,α)ならば，
..............「危険率100％で因子(Ａ)は有意でない」
.........ＦB＜F(DFB,DFE,α)ならば，
..............「危険率100％で因子(Ｂ)は有意でない」
.........ＦA≧Ｆ(DFA,DFE,α)ならば，
..............「危険率100％で因子(Ａ)は有意である」
.........ＦB≧Ｆ(DFB,DFE,α)ならば，
..............「危険率100％で因子(Ｂ)は有意である」
なお，Ｆ(DFA,DFE,α）およびは，Ｆ(DFB,DFE,α）は（表計算ソフト「エクセル」）から求めれば良いでしょう.
求め方は「例題」を参考にして下さい.
［ 例題 28 ］
脱コレステロール製剤の投与によって，血清コレステロール値(mg/dl)が有意に低下したかどうかを表43 の６名の成績について検定します.
ここでの検定は１元配置法と間違えやすいので注意してください．
確かに，各標本(Ａ1～Ａ6)が単なるくり返しであれば１元配置法を適用できます．しかし，ここでの標本は６名の個体別に投与前～投与４ケ月後までの対応する時間経過で観測されたデータですので２元配置法を適用します。
「注意」：
同じ個体についていくつかの観測を測定すると、それらはもはや独立しておらず、ANOVAは使用できなくなります.
そこで、この様なときは「反復測定ANOVA」を使用することになりますが、ここでは単純な二元配置分散分析の方法の紹介に留めます．
| Ａ/Ｂ | 前 | １ケ月 | ２ケ月 | ３ケ月 | ４ケ月 |
| Ａ1 | 224 | 230 | 186 | 179 | 172 |
| Ａ2 | 235 | 190 | 190 | 209 | 142 |
| Ａ3 | 220 | 219 | 235 | 217 | 205 |
| Ａ4 | 204 | 195 | 181 | 193 | 195 |
| Ａ5 | 265 | 245 | 225 | 252 | 208 |
| Ａ6 | 180 | 184 | 155 | 136 | 138 |
表計算ソフト「エクセル」による２配置法の分散分析結果を示します．
次に，「くり返しのあるとき」の２元配置分散分析について説明します。
「繰り返しのある」２元配置とは，一般に表37 のような記号で示されます.
注釈表示
| 因子(Ａ/Ｂ) | Ｂ1 | Ｂj | Ｂm |
| Ａ1 | Ｘ111・・Ｘ11k | Ｘ1j1・・Ｘ1jk | Ｘ1m1・・Ｘ1mk |
| Ａi | Ｘi11・・Ｘi1k | Ｘij1・・Ｘijk | Ｘim1・・Ｘimk |
| Ａn | Ｘn11・・Ｘn1k | Ｘnj1・・Ｘnjk | Ｘnm1・・Ｘnmk |
k＝くり返し数
表37 の「くり返しあり」を，表38 のように「くり返しなし」にします．
| 因子(A/B) | Ｂ1 | Ｂj | Ｂm | |
| Ａ1 | Ｘ11. | Ｘ1j. | Ｘ1m. | |
| Ａi | Ｘi1. | Ｘij． | Ｘim． | |
| Ａn/td> | Ｘn1． | Ｘnj. | Ｘnm. |
| 要因 | 平方和(S) | 自由度(DF) | 分散(V) | Ｆ比 |
| 因子(A) | ＳA | DFA＝ｎ－1 | ＶA＝ＳA／DFA | ＦA＝ＶA／ＶE |
| 因子(B) | ＳB | DFB＝ｍ－1 | ＶB＝ＳB／DFB | ＦB＝ＶB／ＶE |
| 交互作用(AB) | ＳAB | DFA＊B＝(ｎ―1)(ｍ―1) | ＶAB＝ＳAB／DFAB | ＦAB＝ＶAB／ＶE |
| 誤差(E) | ＳE | DFE＝ｎｍ(k-1) | ＶE＝ＳE／DFE | .. |
| 全体(T) | ＳT | DFT＝Ｎ－1 | .. | .. |
「くり返しあり」では，交互作用が新たに付け加えられている点に注意して下さい．
交互作用(Ａ×Ｂ) とは因子(Ａ・Ｂ)が重なったときに，特別な意味をもつかどうかの検定です．すなわち，因子(Ａ)の水準の違いで因子(Ｂ)の値が水準によって異なるかどうかです．
例えば，気管支喘息患者について考えるならば，年齢によってＩgＥ値が一様に変化するのではなく，病態によっては「アトピー型」で最も高く，次いで「混合型」，「感染型」の順序であったとしますと，それが年齢が変わるとこれと全く逆になるような関係を意味しています．
［例題28］ 気管支喘息患者の血清IgE 値を年齢と病態によって分類したところ 表40 のようになった．
| 病態(A)/年齢(B) | 20才以下(B1) | 20ー50才(B2) | 50才以上(B3) |
| アトピー型(A1) | 800, 900 | 500, 400 | 710, 630 |
| 混合型(A2) | 650, 500 | 600, 500 | 360, 130 |
| 感染型(A3) | 260, 210 | 200, 250 | 100, 160 |
病態と年齢によって，あるいは病態と年齢の交互作用に有意な差があるか，どうかを検定します．
表計算ソフト「エクセル」による「くり返しのある」２配置法の分散分析結果を示します．
以上のの結果から，ＩgＥ値は確かにアトピー型(Ａ1），混合型（Ａ2），感染型（Ａ3）で異なっており，Ａ1＞Ａ2＞Ａ3 の関係がみられます.
また，年代別でも全体的に Ｂ1＞Ｂ2＞Ｂ3 の傾向がみられます．しかし，
個々の病態別にみるとアトピー型では異なっており，交互作用の有意差はアトピー型を反映しているようです．
「２元配置分散分析の多重比較について」
２元配置分散分析において有意差が認められれば,要因（A)のａ個の水準間、あるいは,要因（Ｂ）のｂ個の水準間の平均値の差の検定を行い,どの水準のどの二つの平均値の間に差があるかを検定する必要があります.
この様な多重比較については、すでに述べた通りです.ここでは、一対比較以外に有効と言われている「Scheffeの方法」について説明しておきます.
●「繰り返しのないとき」
Ａ水準間：
棄却限界値＝SQRT{DFa×F(DFa,DFe,0.05)×(2×Ve／b)}
Ｂ水準間：
棄却限界値＝SQRT{DFb×F(DFb,DFe,0.05)×(2×Ve／a)}
そして、 ABS(Ⅹbari.－Ⅹbari'.)＞＝棄却限界値 ならば、危険率５％で有意差がある.
●「繰り返しのあるとき」
Ａ水準間：
棄却限界値＝SQRT{DFa*×F(DFa,DFe,0.05)×(2×Ve／各Ａ水準間のデータの個数)}
Ｂ水準間：
棄却限界値＝SQRT{DFb×F(DFb,DFe,0.05)×(2×Ve／各Ｂ水準間のデータの個数)}
Ａ×Ｂ水準間：
棄却限界値＝SQRT{(ab-1)×F(ab-1,DFe,0.05)×(2×Ve/各AB水準のデータの個数)}
そして、 ABS(Ⅹbar(Ai,Bj)－ⅩbarAi',Bj')＞＝棄却限界値 ならば、危険率５％で有意差がある.
「注釈」
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