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5.3.3. 対応のないとき（クラスカル・ワリス検定）．
３つ以上の標本の検定において，母集団における正規性・等分散性の仮定が困難であったり，データが離散量や順位尺度で測られているようなときには，
クラスカル・ワリス（Kruskal-Wallis）検定を適用すると良いでしょう.
多重比較での対標本間比較は「チューキーのHSD検定」を行えば良いでしょう．

[一般形式]

［検定の手順］
(1)検定の問題を明かにする．
「標本間の平均値に差があるか？」

(2)仮説の設定を行う． 注釈表示

データ�fを母集団での分布関数Ｆ（Ｘ−θ）からの標本とするとき，帰無仮説(H0)：θ1＝θ2＝・・・＝θkに対して行う検定である． もし対立仮説(H1)がθ1＜θ2＜・・・＜θkのように， 一定の傾向が見られるとき，これを「傾向のある対立仮説」と云い，ヨンヒール（Jonckheere）検定を適用しなければならない． 本書ではこの検定を割愛したので他書を参考にされたい．

帰無仮設（Ｈ0）：μ1＝μ2＝・・・＝μk
対立仮設（Ｈ1）：μ1≠μ2≠・・・≠μk（両側検定のとき）

(3)危険率（100α％）を設定する．
両側検定の有意水準：α

検定統計量（Ｈ）を計算する．
多群のデータを，
　　　　　　ｋ ＝標本（水準）の数
　　　　　　ｎi＝各標本（水準）の数
　　　　　　Ｎ ＝全データの個数
　　　　　　Ｒi＝各標本（水準）の順位和（i＝1,2,･･･,k）
　　　　

とするとき，データの符号化と順位変換のために，各標本（水準）のデータをひとまとめにし，表31 のような昇順順位系列を作ります.
注釈表示

各標本（水準）データの順位変換において，データに同じ順位のものがあるとき，順位の平均をそのデータの順位とする． 要領は「5.2. ２標本の検定と推定の仕方」でのノンパラメトリック検定と同じである．

表31　各標本での昇順順位系列

標本	Ｒ1	Ｒ2	・・	Ｒj	・・	Ｒni	計
Ａ1	Ｒ11	Ｒ12	・・	Ｒ1j	・・	Ｒ1n1	Ｒ1
Ａ2	Ｒ21	Ｒ22	・・	Ｒ2j	・・	Ｒ2n2	Ｒ2
Ａi	Ｒi1	Ｒi2	・・	Ｒij	・・	Ｒini	Ｒi
Ａk	Ｒk1	Ｒk2	・・	Ｒkj	・・	Ｒknk	Ｒk

Ｒijは各標本（水準）での順位です．ここで、

検定統計量(Ｈ)は，次式により求めます．
Ｈ＝ ｛12 ／（Ｎ（Ｎ+1））｝×�狽qi^2／ｎi−3(Ｎ＋1)

同一順位の多いときは検定統計量（Ｈc）を次のように補正します．
すべての順位系列内に同一順位のデータが何個あるか数えます．
ｔ個のときＴt＝ｔ^3−ｔ，
の計算を同順位のすべてについて行い，その和Ｔ＝�狽stを求めます．

通常，同一順位の数が多くない限り，補正Ｈcを用いなくても検定への影響はあまりありません．
実際の要領は次の「例題27」を参考にして下さい．

［例題27］
気管支喘息患者の血清IgE「例題25」が順位データでランク分けされているとき,病態別IgE値は表32 のようになります．

表32　病態別のIgE値の順位

アトピー型	混合型	感染型
(Ａ群)	(Ｂ群）	(Ｃ群）
8	6	1
10	7	2
11	9	3
14	12	4
15	13	5
8	13	3
8	13	3

病態によってＩgE値のランクがことなるか，どうかを検定します．

検定は次の順位系列表（表33）で行います．

表33　順位の平均と昇順順位系列

アトピーの型	アトピー型	混合型	感染型
群	(Ａ群）	（Ｂ群）	（Ｃ群）
順位数	11	8	1
	14	9	2
	15	13	4
	20	16	6
	21	18	7
	11	18	4
	11	18	4
順位和(Ri)	103	100	28
順位和の２乗(Ri^2)	10609	10000	784
Ri^2／n	1515.6	1428.6	112
順位の平均	14.7	14.3	4

同一順位にはその平均値を与えます。すなわち、[3] の順位は[4]で３つあるから、
その順位の平均は [(4+4+4)/3=4、
[8]の順位は[11]で、その平均は[(11+11+11)/3=11]、
[13]の順位は[18]で、その平均は[(18+18+18)/3=18]となります

この様な、順位の平均はExcel関数「RANK.AVG（）」を使えば簡単に求められます。

(2)検定統計量（Ｈ）は次のようになります．
Ｈ＝ 12／(Ｎ(Ｎ＋1))×�狽qi^2／ｎi−3(Ｎ＋1)
＝12／(21×22)×3056.2−3×22＝13.382

Ｈ＝13.382>χ^2(2,0.05)＝5.991（両側検定，危険率　5％）

例題では，自由度=水準数-1=3-1= 2 の χ^2分布における臨界値（パーセント点）は、
Excel関数「CHISQ.INV.RT(0.05,2)」で求められます。
正確な有意確率は[CHISQ.DIST(13.382,2,FALSE)*2]で、p = 0.00124 を求められます。

すなわち，気管支喘息患者の血清IgEは，その病態によって異なると判断されます.

ここで,
同一順位は次の通りです.
順位数３ が ３個,順位数８ が ３個,順位数13 が ３個

同一順位に対する補正を次の要領で行います。
順位数３ に対して　Ｔt＝3^3-3＝24
順位数８ に対して　Ｔt＝3^3-3＝24
順位数13 に対して　Ｔt＝3^3-3＝24
合計Ｎ＝72

Ｃ＝1-Ｔ／(Ｎ^3-Ｎ)＝1−72／(21^3−21)＝0.992

(3)補正した検定統計量（Ｈc）は，次のようになります．
　 Ｈc＝Ｈ／Ｃ＝ 13.382／0.992＝13.49

補正した検定統計量（Ｈc）の正確な有意確率はExcel関数から、
CHISQ.DIST(13.49,2,FALSE)*2→p=0.00118 となります。

参考資料；
(1) NONPARAMETRIC STATISTUCS：
For the Behavioral Sciencec by Sidney Siegel.
Copyright, 1956 by the McGraw-Hill Book Co. Inc.

(2) Statistics for Ecologists Using R and Excel (Edition 2)
Data Collection, Exploration, Analysis and Presentation by: Mark Gardener
Copyright, Pelagic Pub Ltd; 2版 (2017/3/7)
*****
対順序の補正；
Calculating the adjustment factor.
In order to correct for tied ranks you first need to know which values are tied.
Then you need to know how many ties there are for each rank value.
Once you've ascertained these things you can use the following formula to work out a correction, or adjustment, factor:

****

(4)多重比較について。
　 各群間の対比較はノンパラメトリック検定のときも多重比較によって行います。
対象群と他群との２組の比較ではマンウィトニーの検定を用いても良いでしょう。
しかし、多重比較を行うのであれば「ライアン法」を選択してみて下さい。多重比較には色々な手法がありますので、問題に応じて適切な選択が求められます。
ここでは「ライアン法」による多重比較を示しておきます。

「ライアン法による多重比較」

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