- 仮説でのμA，μBは，２つの母集団での分布関数ＦA(x),ＦB(x)の平均値とする．
- 仮説について云えば，２つの母集団からの分布関数をFA(ｘ),FB(ｘ)とするとき，
帰無仮説(H0)：FA(x)＝FB(x)：FA(x)/FB(x)＝1 に対して検定を行うことになる．
「ノンパラメトリック検定」では，以下同じ様な意味である． - 昇順順位系列とは，データを小さい方から大きさの順に並べたものを云う．
- 検定統計量(R0，U0)は順位和の小さい方である．
- データに同じ順位のものがあるとき，順位の平均をそれぞれのデータに与える．
実際の要領は「例題21」を参考にされたい． - Ａ群とＢ群のデータの個数の小さい方をｎA，大きい方をｎBとする．すなわちデータの個数はｎA≦ｎBの関係とする．
ここでの「エクセル関数式」では大きさを考える必要はない. - Ｔ分布とＵ分布のパーセント点は，日本規格協会刊の「簡約統計数値表（ノンパラメトリック検定）」を参考にされると良い．
B. 対応のないとき(ノンパラメトリック検定)
平均値の差の検定において，２群でのいずれかの分布が，データ変換によっても正規性が得られないとき，
あるいは離散量データであったり，順位尺度で測られているようなときには，ここでの検定を用います．
ここでは次の２方法について説明します．
①ウイルコックスン（Wilcoxon ）の順位検定．
②マンウィットニー（Mann-Whitney）の順位検定．
［一般形式］
血圧を例にとれば，Ａ群とＢ群は異なる薬剤などによって得られる評価の点数などです．
［検定の手順］
①検定の問題を明らかにする．
「２つの標本の平均値に差があるか？」
②仮説の設定を行う. 注釈表示
帰無仮説(Ｈ0)：μＡ＝μＢ
対立仮説(Ｈ1)：μＡ≠μＢ.................（両側検定のとき）
対立仮説(Ｈ1)：μＡ＞μＢ, または μＡ＜μＢ（片側検定のとき）
③危険率（100α％）を設定する．
両側検定の有意水準：α／2
片側検定の有意水準：α
④検定統計量（R0,Ｕ0）を計算する．
まず，初めにデータの符号化と順位変換を行います．
すなわち，Ａ群とＢ群のデータをひとまとめにし，表23のような昇順順位系列を作ります．
注釈表示
このときnA＝Ａ群のデータ個数，nB＝Ｂ群のデータ個数，XA＝Ａ群のデータ，XB＝Ｂ群のデー タ (ｉ=1,2,･･･,nA：j=1,2,･･･,nB : nA<=nB）とします．
| 順位 | ｒ1<ｒ2<・・ｒk・・・<ｒn | 順位和 |
| Ａ群 | Ｒ1<Ｒ2<・・Ｒk・・・<Ｒｎ | ＲA |
| Ｂ群 | Ｒ1<Ｒ2<・・Ｒk・・・<Ｒｎ | ＲB |
Ｒ1～ＲnはＡ群とＢ群のそれぞれのデータ（ＸA,ＸB）の順位とします．
ここで，
ＲA とＲB の小さい方をウイコックソンの検定統計量(Ｔ0)とします．
注釈表示
また、
マンウィットニーの検定統計量（Ｕ0）は，次のようになります．
ＵA＝（ｎA・ｎB）＋ ｎA（ｎA + 1）／2 － ＲA
ＵB＝(ｎA・ｎB)＋ｎB（ｎB + 1）／2 － ＲB
そして，
ＵAとＵB の小さい方をマン・ウィットニーの検定統計量（Ｕ0）とします．
⑤統計的判定を行う．
［両側検定のとき］
Ｔ0＞ＴnA,nB(α／2）または，Ｕ0＞ＵnA,nB（α／2）ならば，
「危険率100α％で有意な差がない」
Ｔ0≦ＴnA,nB(α／2）または，Ｕ0≦ＵnA,nB（α／2）ならば，
「危険率100α％で有意な差がある」
［片側検定のとき］
Ｔ0≦ＴnA,nB(α／2）または，Ｕ0≦ＵnA,nB(α／2）ならば，
「危険率100α％で大きい（小さい）」
Ｔ(α／2），Ｕ(α／2）は 表計算ソフト（エクセル関数式）から求めます.
求め方は次の「例題21」を参考にして下さい。
［例題２1］
気管支喘息患者にキサンチン誘導体製剤を投与し，その効果を「発作の改善性」，「患者の印象」について５段階評価した成績を表24に示します．
| 発作の改善性(標本Ａ) | 5 , 3 , 2 , 4 , 4 |
| 患者の印象(標本Ｂ) | 4 , 2 , 1 , 3 , 3 |
評価点数に有意な差があるかどうかを検定してみましょう．
検定は次の手順で行います．
①標本(A)と標本(B)のデータ(点数)をひとまとめにして，大きさの順に並べ変えると表25のようになります．
| 順 位 | 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 |
| 標本(A) | ....2.......3...........4...4.......5 |
| 同一順位 | ....○......△..........□..□ |
| 標本(B) | 1.......2.......3....3..........4 |
| 同一順位 | .......○.......△...△........□ |
同じ順位のもの，
２点(○印）が２ツ
３点(△印）が３ツ
４点(□印）が３ツ
それぞれに順位の平均を与えます．
注釈表示
順位の平均は次のように計算します．
2点の順位平均＝(2位＋3位)/2＝2.5
3点の順位平均＝ (4位＋5位＋6位)/3=5
4点の順位平均＝(7位＋8位＋9位)/3＝8
②検定統計量(Ｔ0，Ｕ0)の計算．
標本(A)と標本(B)の順位は表26のようになります．
| 標 本 | 順 位 | 順 位 の 和 |
|---|---|---|
| 標本(A)の順位 | 2.5 , 5 , 8 , 8 , 10 | RA＝33.5 |
| 標本(B>の順位 | 1 , 2.5 , 5 , 5 , 8 | RB＝21.5 |
ウイルコックスンの検定統計量(Ｒ0)は，順位和の小さい方(ＲB)の 21.5 が Ｒ0＝21.5となります．
なお，マンウィットニーの検定統計量(Ｕ0)は，
標本(A>のデータの個数 ｎA＝5，標本(B)のデータの個数 ｎB＝5 ですので，
ＵA＝(5×5)＋(5×(5＋1))/2－33.5＝6.5
ＵB＝(5×5)＋(5×（5＋1）)/2－21.5＝18.5
となります．
ＵA，ＵB のうち小さい方(ＵA)の 6.5 が検定統計量(Ｕ0＝6.5)になります．
③「ウイルコックスンのＴ分布」と「マンウィットニーのＵ分布」から，それぞれの下側パーセント点を求めます． 注釈表示
パーセント点は表計算ソフト（エクセル関数式）から求めます。
ウイルコックスンの下側臨界値は次の「Wilcoxon%point」をクリックして下さい。（「Wilcoxon%point）
マンウイットニーの下側臨界値は次の「MannWhitney%point」をクリックして下さい。（「MannWhitney%point）
「エクセル関数式」では片側の％点が与えられますので、
危険率5％での両側検定では有意水準（α）0.05/2＝0.025 のセルにＡ群とＢ群の個数を入力して下さい。
そうすると、
ウイルコックスンＲ(0.05／2)＝17
マンウイットニーＵ(0.05／2)＝2
が表示されます。これが危険率５％の両側％点（臨界値）となります。
ここでは、
Ｒ0＝21.5＞Ｔ(0.05／2)＝17 （両側検定，危険率 5％）
Ｕ0＝6.5＞Ｕ(0.05／2)＝2 （両側検定，危険率 5％）
から，標本(Ａ)と標本(Ｂ)の評価点に有意な差はないと云えます．
すなわち，「発作の改善性」と「患者の印象」は一致していると考えられます．
「注釈」