戻る　　　　　次へ　　　　　目次へ

4.3.2. ｍ×２分割表のとき．
２つの特性の一方がｍ個に分類されている多標本での独立性の検定です．通常の検定では「Ａ．一般的なとき」を用いれば良いでしょう．
しかし，標本特性の出現率に一定の傾向（増加または減少）がみられるときは、
「Ｂ．傾向を有するとき」を，
あるいは対応する２つの出現率の関係が問題になるときは、
「Ｃ．対応のあるとき」を選択して試行すべきでしょう．

Ａ．一般的なとき．
通常のｍ×２分割表形式における検定で広く用いられる手法です．後記の「Ｂ，Ｃ」の手法にかかわらず，ここでの検定を用いることができます．

［一般形式］

［検定の手順］
1.検定の問題を明かにする。
「Ａ群における特性の出現率に差があるか？」

2.仮説の設定を行う。
帰無仮設（Ｈ₀）：P₁＝・・・＝P_m
対立仮設（Ｈ₁）：P₁≠・・・≠P_m　（両側検定のとき）．
対立仮設（Ｈ₁）：P₁＞・・・＞P_m または，P₁＞・・・＞P_m （片側検定のとき）．

3.危険率（100α％）を設定する．
両側検定のときの有意水準：α　
片側検定のときの有意水準：2α

4.検定統計量（KAI₀²）を計算する．
KAI₀²＝�杷_i.×(p_i−P)²／P（1−P）

なお，P_i＝各標本の出現率，P＝全体の出現率　である．　　

5.統計的判定を行う． 注釈表示

KAI2分布の有意水準（α）は上側にのみ設定されているが， 考え方としては両側での検定と考えて良い． もし，対立仮設（Ｈ1）において「小さいと云えるか」または「大きと云えるか」の片側検定を問題にするときは， Ｚ（α／2）2＝KAI2（1,α）の関係を利用してKAI02≧KAI2（1,2α）， あるいはKAI02＜KAI2（1,2α）について判定すれば良い．

［両側検定のとき］
KAI₀²＜KAI²（m-1,α）ならば，「危険率100α％で有為な差がない」
KAI₀²≧KAI²（m-1,α）ならば，「危険率100α％で有為な差がある」

［片側検定のとき］ 　
KAI₀²≧KAI²（m-1,2α）ならば，「危険率100α％で大きい（小さい）」

なお，KAI²（m-1,α）はKAI²分布表（表計算ソフト「エクセル」）から求めます．求め方は「例題」を参考にして下さい．

［ 例題11 ］
表17 に示した企業間の有病率に，有意な差があるかどうかを検定してみましょう．

表17　企業間の有病率

		要因(B)
		病欠者数	就業者数	計	病欠率
要因(A)	企業A	15	511	526	0.0285
	企業B	14	237	251	0.0557
	企業C	20	476	496	0.0403
	企業D	4	299	303	0.0132
	計	53	1523	1576	P=0.0336

表17 はｍ×２分割表に整理されたものです．
これから検定統計量（KAI₀²）は次のように計算されます．

出現率の変動（Ｓp）：
２章（2.3.2.）の偏差平方和を参照して下さい．

526×(0.0285−0.0336)²＝0.014
251×(0.0557−0.0336)²＝0.123
496×(0.0403−0.0336)²＝0.022
303×(0.0132−0.0336)²＝0.126

計(Ｓp)＝�狽�_i.×(ｐ_i−Ｐ)²＝0.285

よって，検定統計量（KAI₀²）は次の通りです．

KAI₀²＝0.285／(0.0336(1−0.0336))＝8.78

これは，　

KAI₀²＝8.78＞KAI²（3,0.05）＝7.815　（両側検定，危険率 5％）

KAI²（3,0.05）は表計算ソフト「エクセル」から，[=CHIINV(0.05,3)]より求めます．以下，同様にして求めて下さい．

です．したがって，企業間の有病率に有意な差があると云えます．

次に，この有意差を反映する企業間の組合せを考えてみましょう．
例題11 では，ＡとＤおよびＢとＣの組合せが考えられるので，この組合せについて検討してみましょう．

Ａ・Ｄ間では，
526×(0.0285−0.0229)²＝0.0165
303×(0.0132−0.0229)²＝0.0285
計(Ｓp)＝0.0450

ですので，その検定統計量（KAI₀²）は，

KAI₀²＝0.045／(0.0229(1−0.0229))＝2.011

となり，

KAI₀²＝2.011＜KAI2（1,0.05）＝3.841（両側検定，危険率5％）

から，Ａ・Ｄ間の有病率は有意な差がないと云えます． 同様に，

Ｂ・Ｃ間では，
251×(0.0558−0.0455)²＝0.0266
496×(0.0403−0.0455)²＝0.0134
計(Ｓp)＝0.04

ですので，その検定統計量（KAI₀²）は，

KAI₀²＝0.04／(0.0455(1−0.0455))＝0.921

となり，

KAI₀²＝0.921＜KAI²（1,0.05）＝3.841 （両側検定，危険率5％）

から，Ｂ・Ｃ間の有病率は有意な差がないと云えます．

そこで，ＡＤの群と，ＢＣの群に分け検定すると次のようになります．

747×(0.0455−0.0336)²＝0.106
829×(0.0229−0.0336)²＝0.095
計(Ｓp)＝0.201

ですので，その検定統計量（KAI₀²）は，

KAI₀²＝0.201/(0.0336(1−0.0336))＝6.19

となり，

KAI₀²＝6.19＞KAI²（1,0.05）＝3.841 （両側検定，危険率 5％）

から，ＡＤ群とＢＣ群の間には有意な差があると云えます．
したがって，「例題 11」での有意差はＡＤ群とＢＣ群の有病率の差を反映していると云えます．

Ｂ．傾向を有するとき．
ｍ×２分割表の「一般形式」において要因（Ａi）が連続量の等間隔， 例えば度数分布の級間 「１章 （1.3.1）参照」のように整理されているとき，そして，その出現率（Pi）に一定の直線関係が見られるときに適用します．
これは、Pi＝aX_i＋b の１次線形式から求められる理論出現率との差を検定するものです．

［一般形式］

要因(A)		要因(B)
階級値	代表値	特性あり	特性なし	小計	特性の出現率
a1〜a2	X1	f11	f12	f1.	P1=f11/f1.
a2〜a3	X2	f21	f22	f2.	P2=f21/f2.
：	：	：	：	：	：
..〜ai	Xi	fi1	fi2	fi.	Pi=fi1/fi.
：	：	：	：	：	：
..〜am	Xm	fm1	fm2	fm.	Pm=fm1/fm.
小計	X	f.1	f.2	T	Pbar=f.1/T

f_ij はそれぞれの要因での出現率，f_i. 及び f_.j は各小計，T　は総計です．

［検定の手順］
1.検定の問題を明かにする．
「Ａ群と出現率間に直線関係があるか？」

2.仮設の設定を行う．
帰無仮設（Ｈ₀）：linearity＝0
対立仮設（Ｈ₁）：linearity≠0

3.危険率（100α％）を設定する．
両側検定における有意水準：α

4.検定統計量（KAI_ι² , KAI_a²）を計算する．

要因（Ａ）の代表値をX_i，その出現率をPiとするときの線形関係は，

平均値（X^bar）＝�狽�_i･Xi／Ｔ
勾 配（ａ^）＝｛�杷_i.(Pi-P^bar)(Xi-X^bar)｝／｛�杷_i.(Xi-X^bar)²｝
切　片（ｂ^）＝Ｐ^bar−ａ^･ｘ^bar

から，P^＝a^・Xi＋b^ の１次式で示されます．
そして，その検定は１次式への当てはめの良さを表わす次式のKAI_ι²（linearity）と勾配KAI_a²（slope ）によって行います．

KAI_ι²＝{�杷_i.(Pi-P^i)²}／{P(1-P^bar)}
KAI_a²＝{ａ²・�杷_i.(Xi-X^bar)²}／{P(1-P^bar)}

5.統計的判定を行う． 注釈表示

ここでは両側検定とする．なお，全体の検定統計量（KAIT2）はKAIT2=KAIι2＋KAIa2となる． 統計的判定は「Ａ．一般的なとき」と同じである．

KAI_ι²＜KAI₂（m-2,α）ならば，「危険率100α％で直線関係がある」
KAI_ι²≧KAI²（m-2,α）ならば，「危険率100α％で直線関係がない」

KAI_a²＜KAI²（1,α）ならば，「危険率100α％で勾配（a＝0）である」
KAI_a²≧KAI²（1,α）ならば，「危険率100α％で勾配（a≠0）である」

なお，KAI²（m-2,α），KAI²(1,α)は表計算ソフト（エクセル）から求めると良いでしょう．
求め方は，例題を参照して下さい．

［ 例題12 ］
安静時の心電図に以上を認めない成人に対して，毎時9.6 Km/h のトレードミル運動を実施し，運動中心電図の臨床的に有意な ST･T 降下または上昇の出現率を調べました．
その結果を表18 のｍ×２分割表に整理しました．運動時間とST･T異常出現率の関係を検定してみましょう．

表18 のｍ×２分割表から，検定統計量（KAI_ι²）は，次により計算します．

表18 運動時間とST･T異常出現率の関係

要因(A)		要因(B)
階級値	代表値	特性あり	特性なし	小計	異常出現率
0.5〜1.5	1.0	2	98	100	0.02
...〜2.5	2.0	3	97	100	0.03
...〜3.5	3.0	4	96	100	0.04
...〜4.5	4.0	5	45	50	0.10
...〜5.5	5.0	8	42	50	0.16
計	..	22	375	T=400	Pbar=0.055

平均運動時間（Ｘ^bar）は，
Ｘ^bar＝�杷_i.･Xi／T　であるので，

1.0×100＝100
2.0×100＝200
3.0×100＝300
4.0× 50＝200
5.0× 50＝250
計 �杷_i.･Xi＝1050 から，

Ｘ^bar＝�杷_i.･Xi／T＝1050／400＝2.625 となります．

次に，運動時間と出現率の共変動（Ｓtp：共変動については６章で述べます）は，
Ｓtp＝�杷_i.･(Pi-P^bar)(Xi-X^bar)　であるので，

100×(0.02-0.055)(1.0-2.635)= 5.6875
100×(0.03-0.055)(2.0-2.625)= 1.5625
100×(0.04-0.055)(3.0-2.625)=-0.5625
50×(0.10-0.055)(4.0-2.625)= 3.09375
50×(0.16-0.055)(5.0-2.625)=12.46875
計 Ｓtp＝�杷_i.･(Pi-P^bar)(Xi-X^bar)=22.25

となります．そして，運動時間の変動(Ｓt) 「 ２章の偏差平方和を参照して下さい 」は，

Ｓt＝�杷_i･(Xi-X^bar)²　であるので，

100×(1.0-2.625)=264.0625
100×(2.0-2.625)= 39.0625
100×(3.0-2.625)= 14.0625
50×(4.0-2.625)= 94.53125
50×(5.0-2.625)=282.03125
計 Ｓt＝�杷_i.･(Xi-X^bar)2=693.75

となります．
これから，勾配係数（ａ^）と切片係数（ｂ^）は次のように計算できます．．
ａ^＝Ｓtp／Ｓt ＝22.25／693.75＝ 0.0321
ｂ^＝Ｐ^-ａ^･Ｘ^bar=0.055−0.0321×2.625＝−0.0293

よって，運動時間（Ｘi）と ST･T 異常の出現率（Ｐ^i）の関係は，
Ｐ^i＝0.0321Ｘi−0.0293

の１次式で示すことができます．

ここで，この１次式への当てはめの良さは，次により求めることができます．
予測出現率（Ｐ^i）は，　
P^1=0.0321×1.0−0.0293=0.0028
P^2=0.0321×2.0−0.0293=0.0349
P^3=0.0321×3.0−0.0293=0.067
P^4=0.0321×4.0−0.0293=0.0991
P^5=0.0321×5.0−0.0293=0.1312

実測出現率と予測出現率の差の変動（Ｓp）は，
Ｓp＝Σｆ_i・(Pi-P^i)²であるので，

100×(0.02-0.0028)^2＝0.02958
100×(0.03-0.0349)^2＝0.0024
100×(0.04-0.067)^2＝0.0729
50×(0.10-0.0991)^2＝0.00004
50×(0.16-0.1312)^2＝0.04147
計（ＳP）＝�杷_i･(Pi-P^i)²=0.14639

となります．
これから検定統計量（KAI_ι²）は，次のように計算されます

KAI_ι²＝Ｓp／Ｐ（1−Ｐ^bar)＝0.1464／(0.055(1−0.055))＝2.817

これは，
KAI_ι²＝2.817＜KAI²(3,0.05)＝7.8147（両側検定，危険率５％）
{KAI²（3,0.05）は表計算ソフト「エクセル」から，[=CHIINV(0.05,3)]より求めます．以下，同様にして求めて下さい．}

であり，危険率５％で有意と云えません．すなわち，

運動時間と臨床的に有意なST･T 降下または上昇の出現率との間には，１次式（Ｐ^i＝0.0321ｘi−0.0293）で示される直線関係があると推測されます．

勾配（a=0）の検定は，KAI_a²を求め検定すれば良いでしょう．ここでは１次式から勾配が「ゼロ」でないことが分かりますので省略します．

以上の計算は、次の表計算ソフト「エクセル」で確認することが出来ます。

●関数式による方法

戻る　　　　　次へ　　　　　目次へ　　　　　TOPへ