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7.2.　データを２群にわける（判別分析）．
予め何らかの基準によって， 標本が２群（Ａ群 ，Ｂ群）に分類されている様なデータをもとに，２群を最も良く判別するような１次式（線形判別関数）を求めておきます．
そして，いずれの群に属するか定かでない未知のデータが与えられたとき，判別関数によってＡ群に分類すべきか，あるいは,Ｂ群に分類すべきかを最小の誤判別率で判別する手法を判別分析と云います．

［一般形式］

標本(A)	A1	A2	Aj	Am
1	A11	A12	A1j	A1m
2	A21	A22	A2j	A2m
..	..	..	..	..
i	Ai1	Ai2	Aij	Aim
..	..	..	..	..
n	An1	An2	Anj	Anm
平均	meanA1	meanA2	meanAj	meanAm

標本(B)	B1	AB2	Bj	Bm
1	B11	B12	AB1j	B1m
2	B21	B22	B2j	B2m
..	..	..	..	..
i	Bi1	Bi2	Bij	Bim
..	..	..	..	..
n	Bn1	Bn2	Bnj	ABnm
平均	meanB1	meanB2	meanBj	meanBm

［判別関数の算出］
　Ｚ＝ａ1ｘ1＋ａ2ｘ2＋・・・＋ａmｘm で示される判別１次式（線形判別関数）において，
係数（ａ1,ａ2,･･･,ａm） は， 次の行列式の演算により求めることができます．

(1)Ａ群とＢ群の偏差行列．(Ａ,Ｂ)

(2)ＡとＢの偏差平方和・積和行列．(Ｓa,Sb)
Sa＝Ａ'Ａ　,　Ｓb＝Ｂ'Ｂ

ここで，Ａ'，Ｂ'　はＡ ，Ｂの転置行列を表します．

(3)ＳaとＳbの共通の分散・共分散行列．
Ｖ＝(ＳA＋ＳB)／(ｎa＋ｎb−2)

ただし，naはＡ群の，nbはＢ群のデータの個数とします．

(4)平均値の差のベクトル
　　　 d＝mean_Ａ−mean_Ｂ　

(5)係数ベクトル
ａ＝Ｖ^-1*ｄ

ここで，Ｖ^-1 はＶの逆行列を表します．

(6)マハラノビスの平方距離．
Ｄ^2p＝ａ*ｄ

これは，判別の良さを示す一つの尺度と考えれば良いでしょう．

(7)判別限界値
(ＺA＋ＺB)／2

ただし，
Ｚa＝ａ1Ａ1＋ａ2Ａ2＋・・＋ａmＡm
Ｚb＝ａ1Ｂ1＋ａ2Ｂ2＋・・＋ａmＢm

とする．

(8)誤判別率
Ｐr＝{ Ｚ＞SQRT(Ｄ^2p／2) }

確率（Ｐr）は正規分布における上側確率を示します．
なお，行列の演算は「例題」を参考にして下さい．

［例題36］
スギ花粉飛散数は気象条件によって，表51のように２群のデータに分けることができました．
このデータをもとに判別分析をおこない２群を最も良く判別する判別関数式を求めてみましょう．

表51　スギ花粉測定時における２群の気象条件

.................Ａグループ........................Ｂグループ

気温(A)	湿度(A)	天気(A)	気温(B)	湿度(B)	天気(B)
8.2	68	3	16.8	59	1
4.2	66	3	25.6	43	1
4.3	70	3	7.1	58	1
7.5	54	2	10.6	63	2
3.6	62	2	16.4	43	2
4.1	77	3	6.8	58	2
5.1	74	3	10.7	61	2
3.7	72	3	14.2	58	2
4.6	61	2	24.0	54	1
6.2	76	3	14.9	56	2

２群の判別分析の手順と結果は,次のエクセル・ファイルを見て下さい．
エクセル・ファイル Sheet[例題36]

行列とベクトルの計算から，次の判別関数１次式を得ます．
Ｚ＝−0.2915ｘ1＋0.0433ｘ2＋3.1047ｘ3

判別の良さを示すマハラノビスの平方距離（Ｄp）と判別限界値（Ｚg）は次の通りです．
　　 Ｄp＝6.752,Ｚa＝9.83,Ｚb＝3.07
Ｚg＝6.45

となります．したがって，

Ｚ＞Ｚg ならば，Ａグループに属し，スギ花粉飛散数は少ないと判断される．
Ｚ＜Ｚg ならば，Ｂグループに属し，スギ花粉飛散数は多　いと判断される．

ここで，
Ａグループ（またはＢグループ）に属すべきものを，Ｂグループ（またはＡグループ）と誤って判断する確率は，
SQRT(Ｄ^2p)／2＝1.299

であるので，
Ｐr＝Ｚ＞1.299＝0.09697

となります．したがって，誤判別率は 9.7 ％ となります．
Pr はエクセル関数「NORMSDIST(1.299)」から求めると良いでしょう。

図51 内部実行結果の２群の分布と判別限界
エクセル・ファイル Sheet[内部実行結果]

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